선형 변환 스케일, 회전

tau 함수로 인해서 특정 벡터 를 선형 변환 하는 역할을 한다.

기하학적 ( 그래픽스) 에서는 Scaling 혹은 Rotation 에서 사용되어 진다.

tau 함수의 조건

tau 함수는 벡터 u,v 에 대해 결합법칙이 성립된다.

tau 함수는 벡터 연산에서 스칼라 k 의 연산 순서를 변경하는 것이 성립된다.

따라서 선형 변환 만으로는 회전과 이동을 한 번에 다룰 수 없어 추가 개념이 필요하다

다음은 선형 변환이 기본이 되는 스케일링을 행렬로 표현 했을 때 아래와 같다.

여기서 다시 스케일을 되돌릴 때는 역행렬을 이용하는 방법과 역변환을 행렬을 이용하는 방법이 있다.

그래픽스에서는 최적화를 위해 1/n 을 이용한 역변환을 사용한다.

회전은 먼저 어떤 축에 대해 회전 할 지 정해야한다. 3차원에서는 회전 축에 대한 회전이다.

최근 그래픽스에서 회전을 표현할 때 쿼터니언을 사용한다.

순서는 nXv 를 구하고 v(normal) 을 구한다. 여기서 | nXv | 과 | v(normal) | 은 동일하다. ( 외적 등등 사용해서 보면 똑같아요~ )

다음으로 Rn (normal) 벡터는 위에서 구한 2개의 벡터로 구할 수 있다.마지막으로 Rn 벡터를 벡터의 덧셈으로 구하게 된다.

여기서 선형변환 행렬 식을 적용하면 ( Standard Basis 를 활용 했을 때 )

아래와 같이 각 축 별로 행렬을 얻게 된다. 회전 행렬의 역행렬은 해당 행렬의 전치행렬과 동일하고 실제 그래픽스에서 많이 사용된다. (최적화 + 표현 쉬움)

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