내적과 외적

 

내적

 

일반적 정의 :

두 벡터의 각 성분끼리의 곱의 합

두 개의 벡터가 있을때 한 벡터의 방향으로 나머지 하나를 projection(투영) 시킨 것과 다른 한 벡터의 크기의 곱

내적 연산은 벡터 두 개를 하나의 스칼라 값으로 변환시키는 연산

 

벡터의 내적은 두 벡터의 각 성분끼리의 곱의 합으로 정의한다.

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두 벡터가 이루는 각의 크기를 세타라고 한다면 벡터의 내적은 다음과 같이 정의한다. (정의.2)

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(정의.1)과 (정의.2)에 따라 두 벡터의 좌표가 주어지면, 두 벡터간의 사잇각을 알 수 있다.

 

 

 

내적(inner product)

 

두 벡터의 사이각을 알아내는데 유용하다

내적은 스칼라곱(scalar product) 또는 dot product라고도 말하며, 두 벡터의 크기와 두 벡터 사이의 각의 코사인 값을 곱한것으로 정의한다. (결과는 스칼라양이 나온다) 수식으로 적어보면,

A*B = |A||B|cosθ

 

그리고 단위벡터를 이용하면 다른 방법으로 내적을 구할 수 있다.

 

cos(θ) = a · b 로 간략화 한다면
a · b벡터의 연산은 성분끼리 곱하면 됩니다.

θ = (a_x * b_x) + (a_y * b_y); 

 

내적 (Inner Product)

내적은 두 벡터의 곱이라고 생각할 수 있습니다. 그래서 Dot Product라고 부르고, 수학적으로 · 이란 기호를 사용합니다. 벡터 A와 벡터 B의 내적은 A · B 로 표현할 수 있습니다.  이를 좀 더 풀어서 표현하면 A · B = |A| |B| Cosθ 로 표현이 가능합니다. 여기서 |A| 는 벡터 A의 크기이고 θ는 벡터 A, B 사이에 이루는 각도입니다.

여기서 |A|Cosθ는 벡터 B와 평행하고 벡터 A에서 벡터 B로 수직으로 그은 삼각형의 밑변이 됩니다. 따라서 여기에 |B|를 곱하면 내적이 되는 것입니다. 

일반적으로 벡터는 2차원이나 3차원에서만 해당되는 이야기가 아닙니다. 차원이 올라가서 n 차원이 되더라도 유클리드 공간에서는 성립하는 공식이 됩니다. 이제 공식과 같이 기억을 하고 있으면 좋은 것이 있는데요. 두 벡터가 수직일때 내적은 계산하나마나 0 이 된다 입니다. 그 이유는 Cosθ 가 θ 가 90인 경우 0이기 때문입니다. 

 

 

 

 

외적은 두 벡터의 수직인 벡터를 구하는 방법입니다. 기호로 x 를 사용하고 A x B 로 표현합니다. 일반적으로 외적 혹은 cross product라고 불리는데요. A x B 를 하면 두 벡터에 수직인 새로운 벡터 C가 나오기 때문에 수학적으로 표현하면 A x B = C 가 됩니다.

외적 (outer product)

두 벡터의 벡터곱(vector product, cross product)의 결과는 벡터인 반면에, 두 벡터의 외적(outer product)의 결과는 행렬입니다. 두 벡터의 외적(outper product)은 아래와 같이 계산합니다. 

 

 

 

 

 

 

출처 : 

https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=sallygarden_ee&logNo=221265467087 

벡터의 곱셈(내적과 외적)

 

https://math-development-geometry.tistory.com/45

벡터의 외적(Cross Product)과 내적(Inner Product)

https://rfriend.tistory.com/146

R (7) 벡터의 곱 - [2] 벡터곱 (cross product, vector product), 외적(outer product)

https://2srin.tistory.com/115

벡터의 내적과 외적 기본 계산 공식